【重要】確率統計で重要な7つの公式一覧まとめ【利用方法も紹介】

確率統計の公式が知りたい人「大学・高校の学生で統計学を勉強しているが、よくわからない。そもそも統計学が何なのかよくわからない。テスト対策になる重要な公式を教えて欲しい...」

こういった疑問に答えます。

本記事の内容

  • 1.学生に向けて、わかりやすい一覧を用意しました
  • 2.統計学に確率が必要である理由
  • 3.テストが近い、、役立つ重要な公式3つ

この記事を書いている僕は、統計学を学んで3年ほど。
現在大学で統計学を専門に学んでいます。

こういった僕が解説していきます。

1.学生に向けて、わかりやすい一覧を用意しました

その①:条件付き確率【=ベイズの定理】【確率】

 

 

  • 【意味】Aが起こった条件のもとで、Bが起こる確率
  • $$\normalsize{ P ( B | A ) } = \frac{ \normalsize{ P ( A | B ) P ( B ) } }{ \normalsize{ P ( A ) } }$$

公式の導き方は?
$$\normalsize{ P \scriptsize{ a } ( B ) } = \frac{ \normalsize{ A \cap B } }{ \normalsize{ P ( A ) } }$$ を変形すると導かれる
【利用】公式を利用できる問題は?
・病気に罹患している確率・コロナ検査の正確度(陽性の結果がでた患者→本当に陽性?)

その②:乗法定理【確率】

 

 

  • 【意味】条件付き確率の公式
  • $$\normalsize{ P ( A \cap B ) } = \normalsize{ P ( A ) P ( B | A ) } = \normalsize{ P ( B ) P ( A | B ) }$$

公式の導き方は?
$$\normalsize{ P \scriptsize{ a } ( B ) } = \frac{ \normalsize{ A \cap B } }{ \normalsize{ P ( A ) } }$$ を変形すると導かれる
【利用】公式を利用できる問題は?
・ベイズの定理導出など・意味は上の条件付き確率と同じだが、別々に頭に入れておくとすぐ問題に対応できる。

その③:平均と分散の関係式【確率分布】

 

 

  • 【意味】分散を導く方法の1つ
  • $$\normalsize{ Var[X] } = \normalsize{ E[X^2] - μ^2 }$$

公式の導き方は?
$$\normalsize{ Var[X] } = \normalsize{ E[(X-μ)^2] } = \normalsize{ E [ X^2 - 2 μ X + μ^2 ] }
= \normalsize{ E[X^2] - 2 μ E[X] + μ^2} = \normalsize{ E[X^2] - 2 μ^2 + μ^2 } = \normalsize{ E[X^2] - μ^2 }$$
【利用】公式を利用できる問題は?
分散を求める問題

その④:正規分布の式【確率分布】

 

 

  • 【意味】正規分布
  • $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}exp\biggl\{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}\biggr\}$$

公式の導き方は?
確率密度関数を全区間で積分すると1になるという性質とガウスの公理から導けますが、上の式を暗記した方が圧倒的に速いです。
【利用】公式を利用できる問題は?
確率分布に関する問題では最もよくでる分布

その⑤:ポアソン分布の式【確率分布】

 

 

  • 【意味】単位時間あたり平均λ回起こる事象が単位時間あたりちょうどk回起こる確率
  • $$\normalsize{ P ( X = k ) } = \frac{ λ^k e^-λ }{ k ! }$$

公式の導き方は?
ポアソンの極限定理から導けます
【利用】公式を利用できる問題は?
単位時間あたりの発生回数を求める問題

その⑥:指数分布の式【確率分布】

 

 

  • 【意味】単位時間あたり平均λ回起こる事象の発生間隔がx単位時間である確率密度
  • $$\normalsize{ f(x) = λ e^-λx }$$

公式の導き方は?
発生間隔がx(単位時間)であるということは、事象が起こってからx(単位時間)何も起こらずに、$x$(単位時間)から$x + ΔX$(単位時間)で事象が起こるということを考えると導ける。
【利用】公式を利用できる問題は?
単位時間あたりの発生間隔を求める問題

その⑦:一致性と不偏性の式【推定量が満たすべき性質】

 

 

  • 【意味】一致性【ある母集団から$n$個の標本を得たときに、その標本から得られる推定量は、$n$(標本数)をとても大きくすれば真の値(母数)に限りなく近づく】
  • 不偏性【ある母集団から$n$個の標本を得たときに、その標本から得られる推定量の期待値は真の値(母数)になる】

公式の導き方は?
公式というより、この2つの性質は推定量が満たすべき性質である。(定義に近い)
【利用】公式を利用できる問題は?
なぜ確率統計では標本分散ではなく不偏分散を使うのか?→【一致性を満たすため】

推定量・母数などの基本的な用語は次のチャプターで解説していきます

2.統計学に確率が必要である理由

【理由】母集団が十分に大きいことを仮定するため、標本集団(無作為抽出)は確率的に得られるから

【確率統計の概要】今手元にある標本集団から、母集団の真の性質(分散.平均)を推測できないか?

【具体例】日本全国の男子高校生の平均身長を知りたい!→日本全国から、身長のデータを無作為に100人集めた→100人の身長データから日本全国の男子高校生の平均身長を推測できないか?

3.テストが近い、、役立つとても重要な公式3つ

その①:積率母関数の式【確率分布】

 

 

  • 【定義】確率変数Xに期待値が存在するとき、$X$の積率母関数$\normalsize{ M x ( t ) }$は、$$\normalsize{ M x ( t ) } = \normalsize{ E [ e^tx ] }$$

【利用の仕方】いろいろな確率分布の期待値・分散の式を暗記しなくても楽に求められる
【利用の具体例】正規分布の積率母関数を$t$で1階微分し、$t = 0$を代入すると期待値になる・正規分布の積率母関数を$t$で2階微分し、$t = 0$を代入すると分散になる

その②:中心極限定理【確率分布】

 

 

  • 【定義】母平均$μ$・母分散$σ^2$の母集団から大きさ$n$の無作為標本を抽出$\Rightarrow$、$n$ が大きいとき、標本平均は正規分布$$\normalsize{ N ( μ , \frac{ σ^2 }{ n } ) }$$に従う

【利用の仕方】母集団が正規分布に従わないときでも、$n$が十分に大きいと仮定することで、正規分布の問題に落としこめる

その③:確率密度関数と分布関数【確率分布】

 

 

  • 【定義】・$$\normalsize{ \displaystyle \int_{-\infty}^{ \infty } f(x) dx = 1 }$$ ・$$\normalsize{ F ( x ) = \displaystyle \int_{-\infty}^{ x } f(x) dx = P ( X \leqq x ) }$$

【利用の仕方】全区間で積分すると1になるという定義を利用して、方程式を立てて解く問題はよく見かける

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